學習數學的幾點體會

簡體傳統

　　一、學習數學的三點體會
　　大家都是數學老師，我也當過數學老師。我覺得，要想教好數學，就必須學習，不斷地學習。如果老師對數學一知半解，肯定用什么教學法也教不好。所以，我們常說“要給學生一碗水，教師得有一桶水”。對于數學，我有這么幾個感覺：
　　1.力量感。即感到數學很有力量。什么是力量呢？就是說你多學一二節課，就會感到你的能力發生了很大的變化。比方說，在小學里，那種很難的應用題，現在比較少，但是還有很多四則運算的應用題（即用算術法解答的應用題）。有的應用題，學生拿回去，自己不會，家長也不會，解起來很困難。到后來，學了代數，列個方程就可以解出來了。如果你不斷學習，越學越覺得數學給人帶來的力量簡直是不可想象的。比如說讀書，有兩種書：一種書讀過之后感覺作者寫得好，想的和自己差不多。另一種書是：只要不看這本書，可能你一輩子也想不出這個方法、這種思想。數學書有很多都是后面這一種，為什么呢？因為其中的很多問題都是世界上許許多多愛動腦筋的人想了很久，終于有一個人想出來一種方法，把它解決了。這種方法是前人經過幾百年才探索出來的，如果你學會了，那么你就在一節課里往前進了幾百年。如果讓你自己想，可能一輩子都想不出來。這種書有陽剛之美，也就是有特別的創造性。這種原創性的問題，我們在數學學習中、在數學教學時幾乎每個星期都會遇到，而且自己在解題時，也會創造出新的東西來。所以，如果你在教學時也能帶給學生一種力量感，經常讓學生回憶昨天還不會的問題今天就會了，那么他對數學的看法就會不同了。
　　2.震撼感。就是有些事情，使人感到一種震撼——也就是說能讓人感到：原來還有這樣的事！我舉個例子，偉大的科學家愛因斯坦在他的回憶錄中這樣描寫道：我在12歲的時候，叔父給了我一本幾何書，其中有一道題讓我感到震撼。什么題呢？是這樣一道題：一個三角形，作出它的三條高。完成之后，我發現這三條高居然定會交于一點！人們不僅能發現這個事實，而且還給出了證明！這個幾何定理，使我從12歲開始便有了研究科學的夢想。后來，他果然實現了這個夢想。另外，還有些事情在歷史上對人的思想是有震撼的。比如，勾股定理，中國人很早就發現了。但在西方，勾股定理是古希臘的畢達哥拉斯最先發現的，他不知道中國已經有人發現了，以為是他首先發現的。因此，他就認為這是上帝給他的啟示，非常興奮。據說他殺了500頭牛，請全城的人來赴宴，慶祝這件事情。許多哲學家說，有一個直角三角形擺在那里好像就一目了然了，但有人忽然告訴你，你沒有看清楚它里面的規律。這在哲學上是非常有啟示意義的。這說明了數學給人帶來的好處，讓人覺得表面上不會有的事情，而它背后卻隱藏著一定的規律。說到數，也有好多這樣的事情。比方說，假定全班有50個學生，如果你問有沒有兩個人的生日是同一天的，幾乎都是有的。為什么呢？用概率可以斷定，這種情況發生的可能性在97%以上，而且可以馬上算出來。有很多事情，好像是隨機的，但它里面有很強的數學規律。再說簡單一點，比方說乘法，用一個數不停地乘，乘上10000次會是什么樣子呢？比如，13自乘 10000次（即

），我們可能知道它是很長的一個數，但是不知道它究竟有多長，是什么樣子。有了計算機，馬上就能將它的結果一位一位地羅列出來。這也是數學的力量。計算機的原理是數學家首先提出來的，在還沒有電子管的時候，數學家就已經提出了電子計算機的模型，而這個理想又過了很多年，才在技術上得以實現。
　　3.解放感。剛開始學數學時，有一些清規戒律，不斷往下學，這種清規戒律就不斷地被打破，使人感到一次一次地得到解放。剛開始我們學習減法，5-3=2，3-5就不能做了。后來學了負數， 3-5、5-3就都可以做了。我們學習除法，6÷2= 3，6÷3=2，但6÷5得不出結果來。學了分數就很簡單了，又解放了。之后又有開方，正數能開方，負數就不行。學了虛數以后，負數也能開方了。原來不能做的事情，后來能做了；原來不會的，現在會了；原來不許做的、違規的，后來解放了，不違規了。原來只能算數，后來還能算。a+b、b +a、

——符號了。符號不僅能代替數，還能代替運算。函數就是用符號代替運算，如f(x)，f就代表了可能很復雜的運算。我們還可以對函數微分，這樣，符號還能對運算進行運算。由此你可以看到，數學里面無禁區，你只要想做的都可以做到，原來沒有規定的，你可以規定；原來他是這樣定義的，你那樣定義可能會更好。所以說，我學數學最根本的體會就是力量感、震撼感、解放感。這些體會，我希望和老師們分享，也希望老師們能和學生分享。
　　二、對兩個問題的看法
　　數學非常難，也非常枯燥。在這個方面我想了兩個問題：1.怎樣讓數學變得更容易？2.怎樣讓數學更有趣？
　　第一個問題，怎樣讓數學變得更容易？以前的教材把乘法中的數分成乘數和被乘數，乘數寫在后面，被乘數寫在前面。比方說，有3個孩子，每個孩子2個蘋果，求一共有幾個蘋果，必須寫成 2×3，寫成3×2就是錯的。乘法交換律是個非常重要的思想。學生開始學乘法的時候，如果你告訴他3×2等于2×3，3個2或2個3無論寫成3×2還是2×3都是可以的。這樣學生的思想就解放了，就不會犯錯。在這里，犯錯是因為有規定。客觀上2×3等于3×2，你規定它不錯它就不錯，何必由于這些規定讓學生多犯錯呢？我們最初辛辛苦苦地告訴學生2×3不能寫成3×2，到后來又告訴學生2×3和3×2是一樣的。我當時就寫文章建議老師不要讓學生區別2×3和3×2，而許多老師想不通，說這是算理。算理是根據定義來的，你定義時就可以規定2×3和3×2是一樣的。學生學的時候，讓他區別2×3和3×2，不能給他帶來任何好處，將來還是要取消的。所以把它去掉就更容易了。現在的新教材已經把它去掉了，很好。因此，不要人為地制造難點。還有一個例子，強調帶分數、真分數、假分數。分母大于分子的分數叫真分數，分母小于或等于分子的分數叫假分數，假分數可以寫成帶分數。這個內容老師至少要上一節課，到后來才發現這個東西沒用，在科學技術上根本不怎么用帶分數。在數學中，像這樣可有可無、無傷大雅的東西，讓學生花許多精力去學習是不太劃算的。
　　還有一些是我們現在還在學的。30年來，我一直在思考這個問題：古人留下來的數學是不是最好的？是不是能讓我們的學生學得很方便？比如說學英語，英語里面一月叫January，二月叫Fe buruary，三月叫March……一個月一個名字。這 12個單詞，記的時候，一個小時也記不住，即使記住了很容易就又忘了。所以我就想，英國人非常怪，他們用Month表示月，用one、two、three……表示1、2、3……要是用Month one、Month two、Month　three……表示這12個月多簡單呀，一分鐘就學會了！語言是不好改的，而數學就不同了，數學里面也有類似的情況。本來很容易的問題，但是前人留下來的卻變得難了。舉個例子，我們現在都喜歡讓學生探究。比如說，古往今來，小學數學中計算平行四邊形的面積都是底乘高。但是，你有沒有想過這個計算公式是怎么來的呢？如一個3厘米寬、4厘米長的矩形，可以分成12個邊長為1厘米的正方形，所以它的面積就是12平方厘米。如果這個矩形是用木條釘成的我們不小心把它弄歪了，變成了平行四邊形，那么它的面積就是12個邊長為1厘米的菱形的面積的和。（這個例子，如果讓五六年級的學生探討，他們可能會得出非常深刻的結論）如果你能把1個單位菱形的面積算出來，那么整個平行四邊形的面積就知道了。但是這1個單位菱形的面積是多少呢？顯然，如果是這種情況（如圖1），面積就很小；如果是這種情況（如圖2），面積就會大到1平方厘米。這也就是說，這個小菱形的面積依賴于角A的大小，角A的大小不一樣，面積也就不一樣，這就是函數概念。顯然，A=90°，面積就是1；A=0°或180°，面積就是0。那么角A是30°、40°、50°，該怎么求面積呢？當然這個問題小學生解決不了。我們知道，如果A=40°，這個單位菱形的面積就是 sin40°。小學生不知道這是什么意思，更不會計算。但只要你告訴他，計算器上有一個鍵，一按就知道了。這樣一來，我們就帶出來一個正弦函數的定義：對于邊長為1的菱形，有一個角為A，我們就把它的面積叫做sinA。我們不知道它是多大，不妨先給它起個名字。這就好比小孩子剛生下來，他將來是當老師，還是當工人，我們不知道，但這并不妨礙我們給他起個名字，起了名字，我們就可以喊他了。同樣地，不知道角為A的單位菱形的面積是多少，就先給它起個名字叫sinA。（我們可以看到，探討的這個問題一下子走了多遠，想了多深）于是，我們馬上就可以知道sin0°=sinl80° =0,sin90°=1。那我們還知道什么呢？我們還知道如果兩個角——角A和鄰角B互補，那么sinA =sinB。這比初中學的還深刻。
　　

　　我剛說的這些，雖然是從一個問題的探討中得出來的，但它的難度降低了，范圍拓寬了，概念清楚了。雖然我們是從小學出發來討論一個問題，但難度降低大家都看得見，我就這么把平行四邊形分塊一說，正弦的定義就有了。按照傳統教材上的定義，要先學全等，再學相似，學了相似才知道直角三角形中對邊與斜邊的比與角有關，與邊的長短無關，才能得出正弦定義來。范圍拓寬了——原來這個定義指的是銳角的正弦，初中學了三年還不知道鈍角的正弦的定義，現在一下子就知道了。一個鈍角和一個銳角互補的話，它們的正弦值就一樣。概念清楚了——原來這個定義很晚才學，學了很多理論，但是有的概念還不清楚。按照傳統教材上的定義，正弦是在直角三角形中銳角的對邊與斜邊的比，因此對于sin90°就沒有定義了。那怎么辦呢？老師就告訴學生：把一個銳角慢慢變大，逐漸接近90°，用極限的概念才能把 sin90°說清楚。現在簡單了，sin90°就是邊長為1的正方形的面積。所以概念清楚了。我們從一個簡單的問題討論下來，引出了這么多深刻的結論。
　　更進一步，如果學生知道了用符號代替數，我們看看還能得到什么，還能走多遠。由我剛才引進的這個定義可知，平行四邊形的面積就等于相鄰兩條邊的乘積再乘以它們的夾角的正弦。那么三角形面積就等于

。有了三角形面積公式，在直角三角形中，我們用不同的方法計算面積就可以得到：

，這又回到了傳統教材上的定義。如果再往前走的話，對任意三角形，其面積

，從而推出了正弦定理，這是現在高中才學到的。有了正弦定理，理解三角形就有了重要的工具。
　　

　　圖3
　　實際上，從小學里的一點知識，如果走對了，離高中的知識就不是很遠了，很簡單的幾步，它就出來了。如果不用函數思想，以為不知道就算了。不知道，先給它起個名字，這就是數學的方法、數學的思想。給出一個函數，根據我們的定義往前走，很快就能得出深刻的結論來。其實，對于剛才我們討論的問題，還有更深刻的結論。比方說，求一個三角形的面積，我們可以先把這個三角形分成兩塊來計算（如圖3），然后加起來：

也就是 sin(90°-α)，這就是正弦和角公式。我在新疆教學的時候，就用這個辦法很容易地證明了這個公式。有了這個公式之后，如果α=β=45°，我們就可以得到

；如果α=β=30°，我們就可以得到

，你就可以知道在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半。這是個重要的幾何定理。如果我們再往前走一步，在直角三角形ABC中，如果A+B=90°，那么sin(A+B)=sin(90°-B)sinA+sin(90°- A)sinB

，這就是勾股定理。勾股定理的證法很多，這是其中之一。這就叫兵不血刃，我們不畫什么圖，一開始就把一個三角形分成兩部分來算一算，算著算著就得到了一個公式。再往這個公式里面代這個式子，代那個式子，就什么都出來了。我們剛才講的幾乎是原來初中里面一個學期的課，而且在初中，一步步非常難，需要這樣證、那樣證，而現在可以很容易地得到。因此我就想，古人留下來的三角函數的定義，他們沒有定義好。就像January、February、 March……如果能把它定義成Month one、Month　two、Month three……的話，我們就可以學得更容易。
　　如果我們在小學的內容里去掉一些不必要的東西，在中學的內容里改變一些不好的定義，我們就可以把很難的東西變得容易，從原理上講邏輯將變得更嚴密。如果按照這個思路，我們的課改會使學生學得更容易、更快樂，而且比原來學得更多。現在的教育理念，大多在講教學的組織方法。如果我們再進一步，不但在方式方法上，如果還能在內容上再改進一步的話，可能會更好。這就要求小學要做好鋪墊。怎么鋪墊呢？小學里面要逐步滲透函數思想、符號思想，還有定義的思想。數學里面的概念、定義都是人給的，人規定的，人起的名字，比如你開始時不知道30°角的單位菱形的面積，就給它起個名字，我們就可以得出公式，有了公式就可以列方程，列了方程一解就知道了，這就是數學方法。
　　第二個問題，怎樣讓數學更有趣？數學往往是同一件事情，左說一句，右說一句，客觀上卻只有一件事情。比方說2+3=5，我們還可以說5- 3=2，5-2=3，一件事情三種說法。三角函數里面，

，sin(90°-A)=cosA，這里說的都是一回事。數學經常把同一件事情弄成好幾種說法。既然是同一件事情，它們就有聯系了。我們就研究它們之間的聯系，哪種說法對我們最有利，我們就用哪種說法。在解決具體問題的時候，用不同的方法說同一個問題時就可以找尋最有利的方法，就可以使數學變得更有趣。另外，把代數的說法和幾何的說法聯系起來也能使數學變得更有趣。舉了例子，5×5=25，4×6=24，25比 24多1；6×6=36，5×7=35，36比35又多了1。兩個相同的數相乘得到一個數，然后把乘數一個減1，一個加1，相乘所得的結果就比原來的答案少1。這個結論在數學上還有更深刻的意義。如果兩個數之和不變，它們的乘積什么時候最大？這兩個數相等的時候最大。如果一個加1，一個減 1，乘積就會變小。用代數表示就是(x+y)(x- y)=

，也就是這個道理。如果從幾何上看這個問題，就會更有意思。將圖4剪拼成圖5后就可以得出(5+1)×4=(5+1)(5-1)=

。這說明，如果我們做實驗，就會發現其中的規律。只要你能自圓其說，開始是有意義的，往后每一步也是有意義的，你就可以得到非常有趣的結論。數學有趣有兩種：學生在一起討論、活動，這本身就很有趣，另外數學自身也很有趣。還有個讓數學有趣的方法呢，那就是使用計算機。把數學和信息技術結合起來，可以使數學變得更容易、更有趣。在開展數學活動時，有時為了做一件事件，不得不做一些沒有趣味的、枯燥的事情。繁瑣的計算、畫圖有時候很麻煩，而計算機就有可能使這些事情變得更有趣、更有創造性。
　　