物理學家看電影黑箭能射死四毛哥嗎？

>>> 新興科技、社會發展等人文科學探討 >>>

簡體傳統

原標題：【中土世界考】黑箭能射死四毛哥嗎？
Rhett Allain/文
Paradoxian/譯

在《霍比特人》的小說和電影版里，惡龍斯矛戈（Smaug，“四毛哥”）被一支箭——傳說中的“黑箭”——打敗。書里和電影里對箭的描述有些出入，所以我接下來就只用電影里的版本了。

黑箭的發射效果。當然了，電影里可不是“連弩激射”。圖片來源：《霍比特人2》預告片

你可以在《霍比特人2》預告片的這段剪輯看到，有個像弩機一樣的裝置發射黑箭（在書里，它是由普通的弓射出去的）。這支箭需要射得多快？這只弩機需要發出多大的力？下面開始分析。

黑箭啥模樣

顯然，這不是一支普通的箭。這支箭要大得多，可能是鐵或者鋼做的（不確定）。我需要做的第一件事就是估計箭的大小。在一個鏡頭里，巴德（Bard，長湖鎮的守護者）拿著僅剩的最后一支黑箭，企圖將其藏起來。這個鏡頭展示出了箭的全長：

我在這里用演巴德的演員——盧克·伊萬斯（Luke Evans）的身高來估計箭長。盧克有1.83米高。這樣的話，我就設箭長為1.9米。它有可能短至1.7米，也可能長至2.1米。不管怎樣，我有了長度的范圍。

找出箭長并不太難。但質量怎么辦？請允許我將黑箭近似看做一個半徑1±0.3厘米的圓柱。如果我設長度為1.9±0.2米的話，（用這篇文章里的方法）算出的體積是（5.96±4.26）×10^-4立方米。沒錯，這個不確定度和體積本身比起來非常巨大，這也是瞎猜的代價。

要算出這支箭的質量，我們可以假設它是鐵（鋼也行，隨你樂意）鑄的。借用7870 千克每立方米的密度，箭的質量大概是4.698±3.357 千克。大概是2.7至17磅之間。17磅的箭有點太重了。不過它們的均值4.698千克大概是10磅，貌似還湊合。

網友與《霍比特人》中黑箭道具復制品的合影。圖片來源：reddit.com

發射黑箭

幸運的是，我們有四毛哥最開始襲擊孤山時矮人射另一只黑箭的小視頻。視頻里有箭在的幀數剛好夠我畫圖分析其位置。下圖是箭從弩機中射出的不同時刻下，黑箭末端的水平及豎直位置。

從這些圖像中，我算出箭的水平速度是12.4 m/s（米每秒），豎直速度是6.66 m/s。合速度的大小是14.08 m/s，角度是水平向上28.2°。這對一支箭來說并不算快。如果我考慮一下長度估計里的不確定度，初速度就是14.08±1.48 m/s。說真的，這速度和玩具手槍射出的橡皮子彈更接近（沒錯，我測量過它的速度），完全算不上能殺死真·惡龍的真·武器。這大概也是為什么四毛哥消滅了矮人——他們的武器弱爆了。

事實上，我不覺得這個武器能夠傷到任何在遠處的人。比方說，我把這支箭用14m/s水平向上28°的初速度射出來，那么它的飛行軌跡會是這樣的：

這是一支從15米高的塔上射下來的箭（忽略空氣阻力）。這支箭上升了約2米后便下落，射開的水平距離也就30來米——這支箭糟透了。除非你能在直瞄射程（譯注：射程中能夠近似為直線，進行三點一線的瞄準的部分）內擊中，屠龍是永遠不可能的。

現實中的箭呢？

只是為了分析的完整性，我們來看看現實中的箭。實際上，把它稱為現實中的箭也還是有點牽強——這是我孩子的玩具弓箭。我猜這倒還算是個正經的弓吧。下面是一段我射箭的慢速視頻（240幀每秒，10倍放慢）。順帶一提，我愛死（我老婆的）iPhone6 Plus里的240fps視頻功能了。

我當時正穿著一件剛鐸圣白樹的上衣——老實說，這完全是巧合。下圖是Tracker Video Analysis解析出的這支箭的水平運動。

從這我們能看出，箭的發射速度（還是從一個簡易的弓發出的——別說弩機，連個牛逼弓都不算）是30 m/s。這大概是視頻里弩機射出的黑箭的兩倍。當然，我不覺得這支箭就殺死惡龍了——尤其它還有個橡膠箭頭。說真的，一個質量更好的弓（和一個更好的弓箭手）估計能將箭以兩倍于此的速度射出。

純粹為了好玩，下面是另一位弓箭手的使用情況。該弓箭手今年8歲。

盡管他沒把弓拉到最滿，箭的初速度還是有13m/s。

矮人該怎么屠龍？

你現在可能在想：好吧，黑箭是慢一點。但是！這家伙比一般的箭大多了。這意味著它會有很大的動能，說不定能造成很大的傷害呢！

嗯，我聽到你說的了，這種想法不無道理。不過，當你壓根射不到龍的時候，你能對它造成多大的傷害呢？答案是，沒傷害。

唔，那么得把箭射到多快，射中龍的機會才算還行呢？如果這支箭是以初速度50m/s向上45°射出去的，它能上升大概60米。這看起來至少還比較合理。惡龍可能會俯沖到這個攻擊范圍內。而一個100m/s的初速度也許會讓人們有更大的把握對抗巨龍。

我們就用這個值吧。

現在你想以100m/s的初速度射出這支黑箭。這把箭能獲得多少動能呢？這自然取決于箭的質量——而我剛剛估出了它的質量范圍。動能的計算公式是：

用上文鏈接里提到的算不確定度的方法，我得出動能是23.5±16.8千焦。一支普通的箭可能重20克；如果以50m/s發射，它只會得到25焦的動能。就算速度加倍，動能也不過是100焦。這些都沒法和黑箭相提并論。

那么，來射黑箭吧。下圖是黑箭發射時的示意圖。

因為我知道箭的終動能（起始動能是0），如果再加上力推動箭的距離，我便能解出箭受到的平均力。在霍比特人的預告片里，弩機大概向后拉了0.95米。這讓平均力成了24,726±17,668牛，犀利。哦對了，我沒把箭斜向上射的過程中轉換的重力勢能算進去。為啥？因為和動能比起來那太小了。

接下來是為什么你不會想手動拿著弩機，而是把它固定在高處了。因為我已經知道了（猜出了）黑箭的質量和速度，我能解出它的動量：

利用先前的數值，黑箭的動量大概是469.8±335.7 千克·米/秒（kg·m/s）。這看上去似乎沒啥，但等等！根據動量定理，為了讓物體的動量發生改變，你需要給它施力。如果正好有個人握著弩機，那么施在箭上的力和箭對弩機的反作用力是相等的。結果就是，要讓箭的動量增加469 千克·米/秒，使用弩機的人需要（在另一個方向上）承受相同的沖量。

假設矮人和弩機總共重125千克。為了獲得同樣的動量，那個矮人會得到3.76±2.69 米每秒的反沖速度。沒錯，這對一個被彈回的矮人來說是相當快的。當然，鑒于那個矮人還有其他力作用在他身上來平衡后座力，反沖速度會低點。然后還有摩擦力。不管怎樣，這個反沖還是很大的——而且這很有可能傷害矮人。

電影為何這么拍？

在電影里，箭走得太慢了。同時，《霍比特人》的原著里并沒有弩機，巴德是直接用普通的弓射了箭。為何要做這些改動？

首先，我來分析下這個弩機。我懷疑這是個劇情點。設定里只剩一支黑箭了，所以必須要有。不過，如果巴德拿到了黑箭，他就能用自己的弓隨意隨處射龍了。這樣太簡單了。如果設定里加一個弩機，那么巴德就既要拿到箭同時到達弩機才行。這能讓電影為此設計出更多情節。呃，我只是猜猜而已。

箭的速度又怎么說呢？假設他們把箭以100m/s射出。當它跨過0.95米的距離時（就像電影中一樣），平均速度是50m/s（因為起始時靜止）。以這個平均速度，箭只需要0.019秒就能射出。大部分電影都是每秒30幀拍攝的，每幀只有0.033秒。而要達到100m/s的發射速度，你甚至都看不到箭被射出去。讓箭走得慢一點能夠讓場景看起來更夸張。《星球大戰》中也發生了一模一樣的事。星戰里的爆能槍速度也極慢。（嗯，我也分析過。）

到最后，所有這些都是為了讓電影更好看而已（我猜）。（編輯：Calo）

PS：在《霍比特人：五軍之戰》中，巴德與四毛哥的對決會“更科學”嗎？還得看了才知道。