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　　主成分與因子分析是醫用多元統計分析教學中的一個難點，筆者結合幾年來教學中的一些體會，談談自己膚淺的見解，向學界前輩、同仁討教。
　　主成分與因子分析的難點是概念抽象，計算復雜，很多名詞也是第一次接觸，如特征根、特征向量、因子負荷、旋轉等。相應的教學對策就是要將抽象概念具體化，復雜計算簡單化。
　　　　　　1　概念
　　主成分與因子分析中的概念比較抽象，難以理解。因此，教學中第一個碰到的問題是，什么是主成分？什么是因子？
　　主成分是對變量共性的提取。這句話可以通過下面的一個例子來說明。
　　設x[,1]，x[,2]的相關系數為r（不妨假設r≥0），可以理解為x[,1]，x[,2]的信息量均為1，總信息量為2，r是其共性部分。 兩個主成分對應的特征根分別為：λ[,1]＝1＋r和λ[,2]＝1－r，即第一主成分包含的信息量為1＋r，第二主成分包含的信息量為1－r，總信息量仍為2。可見主成分是對信息量的再分配，且第一主成分包括的信息隨兩變量相關程度（共性）的增大而增大，當兩變量完全相關時，λ[,1]＝2，λ[,2]＝1，即第一主成分包括的了x[,1]，x[,2]的全部信息；而當兩變量無相關時，λ[,1]＝λ[,2]＝1，第一、二主成分包括x[,1]，x[,2]的信息各占一半。因此，當變量間的相關關系不明顯時，作主成分分析意義不大。
　　因子分析基于這樣的基本思想：根據相關性的大小把變量分組，使得同組內的變量之間相關性（共性）較高，而不同組的變量相關性較低。這樣，從實際意義上說，每組代表一個方面（因子）；從統計學上來講，每組代表了原協方差結構的一個基本結構。這句話可以通過下面的例子解釋。
　　考察5個生理指標：收縮壓（x[,1]），舒張壓（x[,2]），心跳間隔（x[,3]），呼吸間隔（x[,4]），舌下溫度（x[,5]）。從生理學的知識來看，這五個指標都是受植物神經支配的，植物神經又分為交感神經和副交感神經，因此，這5個指標有兩個公共因子， 故可以用因子分析的模型去處理它：若用f[,1]和f[,2]分別表示交感神經和副交感神經，那么，可以想象，x[,1]，x[,2]，x[,3]，x[,4]，x[,5]可用f[,1]和f[,2]的線性函數來表示，再加上其他對這些x[,i]有影響的因子，用函數形式可表示為：
　　x[,i]＝l[,i1]f[,1]＋l[,i2]f[,2]＋u[,i] i＝1，2，3，4，5　　 （1）
　　因子分析的首要任務就是要估計因子負荷｛1[,i[,j]]｝和特殊方差｛u[,i] ｝，并對每個因子給出合理的解釋，若難以找到合理的解釋，需作一些變換。成功的因子分析就是要用盡量少的因子解釋觀察到的相關性，且每個因子都有一個合理的解釋。
　　　　　　2　主成分與因子的關系
　　主成分是原變量的線性函數，是對原變量信息的綜合，每個主成分就是一個綜合指標，該綜合指標可以具體估計出來，并可參與進一步的分析。
　　因子分析是尋找一些意義明確的綜合指標（公因子），并以它們為框架，將原變量分解為共性部分和個性部分，從而洞察原變量間的聯系與區別。而共性部分就是這些公因子的線性函數。綜合指標的提取方法很多，主成分是其中的一種。因此，在講解主成分與因子分析的關系時，可以解釋為：主成分分析是因子分析中的一步，因子分析是主成分的一個應用和發展。
　　　　　　3　主成分的貢獻
　　主成分的貢獻是用主成分反應原變量方差的多少來衡量的。第i 個主成分對所有原變量的貢獻為λ[,i]，而對第j個原變量X[,j]的貢獻是λ[,i]與負荷系數a[2][,ij]的乘積。從而知道為什么稱a[2][,ij]為負荷系數。講解時可以結合圖1來說明，對公因子的解釋亦可仿此。
　　附圖
　　圖1　主成分對原變量的貢獻圖
　　　　　　4　因子旋轉
　　當初始負荷不易解釋時，應用中常常對負荷作正交變換，即旋轉，以便能得到一個更簡單的結構，便于因子的解釋。最理想的是這樣的負荷結構，每個變量只在一個因子上有較大的負荷，而在其余因子上的負荷比較小，至多是中等大小。
　　旋轉是幾何學上的名詞，實際上，因子分析中的“旋轉”是對變量信息的再一次分配。講解時可作如下比喻：旋轉的在原理很象調節顯微鏡的焦點，以便看清觀察物的細微之處，它們的共同之處是不增加也不減少事物的信息量，只是通過適當的調整使事物的本來面目更清晰。
　　　　　　5　因子分析策略
　　因子分析總會遇到三個問題：其一，用什么方法提取因子；其二，每個因子的實際背景是什么：其三，需保留多少個因子。因子分析沒有定式，并常伴有主觀性，因此有人說因子分析仍然保留著一種藝術的氣息，猶如藝術家雕刻一塊石頭，并沒有千篇一律的做法。但實際應用時還是有一些經驗可以借鑒。
　　（1）先采用主成分因子提取法，當因子的意義不是十分明確時，采用方差極大正交旋轉，同時用因子得分探查離群值。
　　（2）再用極大似然法重復上述步驟。
　　（3）比較上述兩法所得到的因子分析解，主要分析：（a）因子負荷能否按同種方式分組；（b ）兩種方法所得的因子得分各為一個坐標軸作散點圖，如果在一特定因子上兩法所得因子負荷的一致的，則因子得分應密集在過原點的45°線附近，否則因子得分將偏離45°線，如果這種情況發生，常說明因子數選多了。
　　（4）另選一個因子個數m，重復上述（1）～（3），考察添加因子對解釋的影響。
　　（5）若數據較多，可再從中隨機抽取一部分（通常是1／3 以上）作因子分析，比較這一部分以及全部數據得到的因子分析解，以考察解的穩定性。這一作法與其他多因素分析法相同。
　　因子分析中最大的困難莫過于對因子的解釋，如果公因子得不到切合實際的解釋，也就失去了因子分析的意義。
　　　　　　6　應用
　　主成分分析本身往往并不是目的，而是達到目的的一種手段。因此，它多用在大型研究項目的某個中間環節中。例如，把它用在多元回歸中，便產生了主成分回歸，這種回歸具有一些優良性質，可以克服原變量的多重共線性。另外，它還可以用于綜合評價，聚類分析，判別分析等。如果能結合幾個實例，則學生對主成分的理解將會更深刻。
　　　　　　7　舉例
　　一個恰當的例子，可以使主成分和因子分析的教學變得簡明易懂，再配合幾個好的習題，通過上機練習，學生自己解釋，可使其具有趣味性。下面的一個例子是值得推薦的。
　　實例Linden對二次大戰以來的奧林匹克十項全能得分作了因子分析，共有160組數據，對每項運動得分施以標準化變換， 每項運動標準化后的得分服從或近似服從正態分布。從n＝160組數據算出的樣本相關矩陣如下，試對樣本相關系數矩陣做因子分析。

百米　　┌1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　┐跳遠　　│0.59 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 │鉛球　　│0.35 0.42 1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　│跳高　　│0.34 0.51 0.38 1　　　　　　　　　　　　　　　　 │400米　 │0.63 0.49 0.19 0.29 1　　　　　　　　　　　　　　│百米跨欄│0.40 0.52 0.36 0.46 0.34 1　　　　　　　　　　　 │鐵餅　　│0.28 0.31 0.73 0.27 0.17 0.32 1　　　　　　　　　│撐竿跳高│0.20 0.36 0.24 0.39 0.23 0.33 0.24 1　　　　　　 │標松　　│0.11 0.21 0.44 0.17 0.13 0.18 0.34 0.24 1　　　　│1500米　└-0.07 0.09 -0.08 0.18 0.39 0.00 -0.02 0.17 0.00 1┘

　　
　　用主成分法提取因子，因子負荷系數見表1。 從主成分法的觀點看，應取m＝3或4。從后面的因子負荷的討論可知，取m＝4較合適。 應用主成分法算出的因子分析的關量都列在表1中。

　　　　表1　奧林匹克資料的因子分析（主成分法）

	　　　 因子負荷　　　　　最大方差旋轉因子負荷變量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　共同度	　F1　　　 F2　　　 F3　　　 F4百米　　 0.6905　　 0.2170　 -0.5203　 0.2060　　　　　 0.8370跳遠　　 0.7885　　 0.1836　 -0.1926　-0.0925　　　　　 0.7012鉛球　　 0.7019　　-0.5346　　0.0470　 0.1753　　　　　 0.8114跳高　　 0.6737　　 0.1340　　0.1388　-0.3959　　　　　 0.6478400米　　0.6197　　 0.5511　 -0.0838　 0.4187　　　　　 0.8701百米跨欄 0.6869　　 0.0421　 -0.1610　-0.3446　　　　　 0.6183鐵餅　　 0.6212　　-0.5211　　0.1095　　02344　　　　　 0.7244撐竿跳高 0.5385　　 0.0870　　0.4109　-0.4396　　　　　 0.6596標槍　　 0.4341　　-0.4390　　0.3719　 0.2345　　　　　 0.57451500米　 0.1466　　 0.5961　　0.6581　 0.2787　　　　　　08876方差　　 3.7866　　 1.5173　　 1.114　 0.9134　　　　　 7.3317累計貢獻 0.3787　　 0.5304　　0.6418　 0.7332變量　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 共同度	　F1[*]　　 F2[*]　　 F3[*]　　F4[*]百米　　 0.8832　　 0.1358　　0.1580　-0.1162　　　　　 0.8370跳遠　　 0.6034　　 0.1938　　0.5159　-0.0074　　　　　 0.7012鉛球　　 0.2443　　 0.8245　　0.2231　-0.1487　　　　　 0.8114跳高　　 0.2383　　 0.1505　　0.7500　 0.0763　　　　　 0.6478400米　　0.7984　　　00740　　0.1027　 0.4654　　　　　 0.8701百米跨欄 0.4021　　 0.1530　　0.6356　 -0.711　　　　　 0.6183鐵餅　　 0.1859　　 0.8135　　0.1472　-0.0796　　　　　 0.7244撐竿跳高-0.0368　　 0.1760　　0.7615　 0.2176　　　　　 0.6596標槍　　-0.0469　　 0.7350　　0.1095　 0.1415　　　　　 0.57451500米　 0.0477　　-0.0408　　0.1110　 0.8335　　　　　　08876方差　　 2.1334　　 2.0220　　1.9438　 1.2325　　　　　 7.3317累計貢獻 0.2133　　 0.4155　　0.6099　 0.7332

　　在主成分解中，除了1500米長跑以外，所有項目在F[,1]上都有較大的正載荷，這個因子可稱為一般運動能力，但是其余因子不能很容易地給出解釋，因子F[,2]似乎是跑和投擲能力（臂力）的對比（contrast）：而因子F[,3]似乎是長跑耐力（1500米）和短跑速度（100米）的一個對比；因子F[,4]意義不明。
　　4個因子的主成分解釋了大部分總樣本方差（73％）， 雖然有一些特殊方差的估計比較大（如標槍、110米跨欄等）。 這說明這些項目與其他項目比起來，需要運動員具備一些特殊素質。
　　采用最大方差旋轉，結果見表1。 旋轉后各因子的意義就非常明確了：第一因子在100米、400米及跳遠上有較大負荷，在100 米跨欄上有中等負荷，可稱該因子為短跑速度因子；第二因子在鉛球、鐵餅、標槍上有較大的負荷，可稱其為爆發性臂力因子；第三因子在跳高、撐桿跳高、100米跨欄上有較大負荷，在跳遠上有中等負荷， 可稱該因子為爆發性腿力因子；第四因子只在1500米長跑上有較大負荷，在400 米上有中等負荷，可稱其為耐力因子。各因子的意義比較明確，且每個變量都只在一個因子上有較大的負荷，無明顯的重復現象。
　　用極大似然法所得因子的意義與主成分因子相同，不贅。
　　膚淺見解，望能拋磚引玉
中國衛生統計F104統計學陳峰20002000南通醫學院　226001 作者：中國衛生統計F104統計學陳峰20002000

網載 2013-09-10 20:49:42

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