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    【中圖分類號】G301　 【文獻標識碼】A　　【文章編號】1671-7287(2004)02-0068-05
    非線性科學是研究非線性現象共性的一門新興的交叉學科，產生于20世紀六七十年代。其標志是：1963年美國氣象學家洛倫茲發表的《確定論的非周期流》論文，揭示確定性非線性方程存在混沌(Chaos)；1965年數學家查布斯基和克魯斯卡爾通過計算機實驗發現孤立子(Soliton)；1975年美籍數學家芒德勃羅發表《分形：形態、機遇和維數》一書，創立了分形(Fractal)理論。混沌、孤立子、分形代表了非線性現象的三大普適類，構成非線性科學的三大理論。[1]
    非線性科學的發展標志著人類對自然的認識由線性現象發展到非線性現象。非線性科學中的混沌理論被認為是20世紀繼相對論、量子力學之后的又一次革命；分形幾何是繼微積分以來的又一次革命；孤立子理論則預示著物理學與數學的統一。
    　　一、線性科學與非線性科學
    所謂線性，是指量與量之間的關系用直角坐標系形象地表示出來時是一條直線。在數學上，主要通過對算子的描述來討論系統的線性與否。如果算子Y滿足：
    附圖{B2O811}
    其中，α為常數，u、v為任意函數，則稱算子為線性算子，否則稱為非線性算子。[2]線性系統中部分之和等于整體，描述線性系統的方程遵從疊加原理，即方程的不同解加起來仍然是方程的解。線性理論是研究線性系統的理論，主要包括：牛頓經典力學、愛因斯坦的相對論和量子力學理論等，它有成熟的數學工具，如線性方程、曲線，以及微積分等數學方法。[3]
    雖然非線性問題自古以來就有，但人們開始只能解決線性問題，隨著科學技術的發展，在解決非線性問題方面才逐步取得進展。當代所有的科學前沿問題幾乎都是非線性問題。從物理現象來看，線性現象是在空間和時間上光滑和規則的運動，非線性現象則是從規則運動向不規則運動的過渡和突變。非線性科學貫穿了自然科學、工程科學、數學和社會科學的幾乎每門學科。[4]
    　　二、非線性科學的起源[5]
    現代科學研究在15世紀初處于萌芽狀態時，由于生產力水平限制，面臨的實際問題大多是能量密度較低、相對穩定、變化不快、干擾不大的問題，象動能、運動速度、力的大小等都正好屬于這種領域，在初步近似下都可以用線性模型處理。那時數學家們也只能解決線性問題，解決非線性問題的數學方法還很不成熟，尤其是非線性的微分方程只有很有限的一些方程可以求解。直到19世紀末，大量的經典物理理論都是線性的，線性的數學方法也得到了充分發展。20世紀以后，隨著對物質運動觀測的深入，特別是在量子力學的研究中，發現很多關系都是非線性的；同時，物理和化學中涌現了很多非線性的問題。隨著原子能和航空航天技術的發展，把人們帶進了能量密度高、變化較快和外部干擾較大、控制精度要求高的研究領域，很多情況下甚至需要解決突變問題。所有這些新興研究領域以及新材料、新技術、新工藝的發展，都使得建立非線性模型成為必要。
    　　三、非線性科學的主要內容及應用
    在目前對非線性問題還沒有完全獲得系統的處理方法的情況下，不同的研究領域里分別出現了自己獨特的研究方法，如混沌運動；分形；奇異攝動理論；分岔、突變理論；孤立子理論等。但一般認為非線性科學的三大普適類包括混沌、分形以及孤立子。
    （一）混沌
    1.混沌理論的發展歷程[6]
    19世紀末20世紀初，龐加萊在研究三體問題時遇到了混沌問題。發現如太陽、月亮和地球三者之間的相對運動與單體問題、二體問題不同，它是無法求出精確解的，多年來這成了牛頓力學中的遺留難題。1903年龐加萊在《科學與方法》一書中提出了龐加萊猜想，把動力學系統和拓撲學有機地結合起來，并指出三體問題中，在一定范圍內，其解是隨機的。實際上這是一種保守系統中的混沌，從而使其成為世界上最先了解混沌可能存在的第一人。
    1954年，前蘇聯概率論大師柯爾莫哥洛夫發表《哈密頓(Hamilton)函數中微小變化時條件周期運動的保持》一文，這篇文章表述了在混沌未發生之初，在保守系統中如何出現混沌，是KAM定理的雛形。1963年該文所述內容獲得嚴格的數學證明，為確認不僅耗散系統有混沌，而且保守系統也有混沌的理論鋪平了道路。
    1963年，洛倫茲在《確定性的非周期流》一文中指出：在三階非線性自治系統中可能會出現混亂解。這是在耗散系統中，一個確定的方程卻能導出混沌解的第一個實例。2000年《自然》雜志發表論文《The Lorenz Attractor Exists》，首次從數學上嚴格證明了Lorenz吸引子在自然界中的存在。KAM定理討論的是保守系統，而洛倫茲方程討論的是耗散系統，他們分別從不同的角度說明，兩種不同類型的動力系統，在長期的演化過程中是怎樣出現混沌態的。
    1964年，法國天文學家伊儂(Henon)從研究球狀星團以及洛倫茲吸引子中得到啟發，給出了henon映射，并用它建立了“熱引力崩坍”理論，揭示了幾個世紀以來一直遺留的太陽系的穩定性問題。
    1971年，法國數學物理學家D.Ruelle和荷蘭學者F.Takens聯名發表了著名論文《論湍流的本質》，發現動力系統中存在著特別復雜的新型吸引子，并描繪了它的幾何特征，證明了與這種吸引子有關的運動即為混沌，并命名這種新型的吸引子為奇怪吸引子。
    2.混沌運動的特點[7]
    混沌一詞是由美籍華人學者李天巖和美國數學家約克于1975年首先提出。當年他們在《周期3意味著混沌》的文章中給出了混沌的一種數學定義，由于該定義存在缺陷，1989年，Devaney R.L.從混沌所具有的特性出發，又給出了混沌的一種描述性的定義。然而迄今為止，混沌還沒有一個公認的數學定義。一般認為，混沌是確定性系統中出現的貌似無規則的有序運動，混沌運動的特點可以概括為：(1)內在隨機性。描述混沌系統的演化方程確定，但演化行為不確定；系統短期行為確定，但長期行為不確定。系統的這種行為既不同于傳統的確定性現象也不同于傳統的隨機性現象，而是系統確定性與隨機性的有機結合。研究表明，產生混沌的本質原因在于確定性系統的非線性。(2)對初值的敏感依賴性。混沌運動的振蕩解不是漸近穩定的，它的解在一定范圍內表現出整體的穩定性，但是系統的非線性使進入吸引子內部的軌線不斷彼此互相排斥，反復分離和折疊，使得系統的局部不穩定。這種局部不穩定就是對初始條件的敏感依賴性，即使系統初始值出現小的偏差，也會引起軌道按指數分離，這就是所謂的“蝴蝶效應”。系統對初值敏感性依賴的根源仍然在于系統內的非線性相互作用，對于一維迭代系統就表現為非線性迭代方程。(3)奇異性。從整體上看系統穩定；從局部上看系統不穩定。其解軌道在有限范圍內作無數次的分離、折疊和靠拢，形成一種稱為奇怪吸引子或混沌吸引子的結構。系統吸引子內部具有無窮層次的自相似結構，奇怪吸引子的維數一般為非整數。
    3.混沌的主要應用領域
    由于混沌運動具有初值敏感性和長時間發展趨勢的不可預見性，混沌控制和混沌時間序列的短期預測就成為混沌應用的主要內容。
    混沌控制是指混沌的控制與誘導。這是非線性動力系統與非線性控制的新理論與新方法，是智能控制的重要組成部分。1989年胡柏勒(A.Hubler)發表了控制混沌的第一篇文章。1990年奧特(E.Ott)、格銳柏基(C.Crebogi)和約克(J.A.Yorke)提出的控制混沌的思想（OGY控制）產生了廣泛響應。同年，佩考拉(L.M.Pecora)和卡羅爾(T.L.Carroll)提出混沌同步的思想，接著迪托(W.L.Ditto)和羅意(R.Roy)等完成了控制混沌的實驗。以后十年，混沌控制與混沌同步的研究得到了蓬勃的發展，并成了混沌研究領域的重要熱點。其間，人們提出了各種控制混沌的方法，并在光學、等離子體、化學反應、流體、電子回路、人工神經網絡、生物系統等大量實驗和應用中得到驗證。目前，混沌控制的目標是人為地影響混沌系統，使之演化到需要的狀態。這包括：(1)混沌有害時，成功地抑制混沌；(2)混沌有用時，產生所需要的具有某些特定性質的混沌運動，甚至產生出特定的混沌軌道；(3)在系統處于混沌狀態時，通過控制，產生出人們需要的各種輸出。總之，盡可能地利用混沌運動自身的各種特性來達到控制目的，是所有混沌控制的共同特點。[8]
    由于非線性系統的混沌現象是由某些關鍵參數的變化引起的，因此，關于控制或誘導混沌的一種十分自然的想法是直接控制或調整這些參數。基于Von Neumann的思想，Pettini在1988年用計算機模擬，通過觀察最大Lyapunov指數的方式觀察到：適當的參數擾動可以達到消除Duffing系統混沌現象的目的。之后，Ott,Grebogi和Yorke提出了一種比較系統和嚴密的參數擾動方法，亦稱OGY方法。這種方法通過逐次局部線性化，配合小參數調整的手段來實現控制混沌的目的。目前關于混沌控制（或誘導）的方法主要有：參數擾動法、納入軌道和強迫遷徙法、工程反饋控制法及混沌同調法。[9]
    以上討論的是關于時間混沌的控制，在時空混沌控制方面，主要有變量反饋法、定點注入法、局部模式反饋法等。
    另一方面，從時間序列的角度研究混沌，始于Packard等在1980年提出的重構相空間理論。該理論揭示了決定性系統中任一變量的長期時間演化序列，均包含了該系統所有變量長期演化的信息。因此，可以通過系統中任一單變量時間序列來研究系統的混沌行為。而吸引子的不變量——關聯維（系統復雜度的估計），Kolmogorov熵（動力系統的混沌水平）、Lyapunov指數（系統的特征指數）等在表征系統的混沌性質方面一直起著重要作用。
    混沌現象的發現開創了科學模型化的一個新典范：一方面，混沌現象所固有的確定性表明許多隨機現象實際上是可以預測的；另一方面，混沌現象所固有的對初值的敏感依賴性又意味著預測能力受到根本性限制。實際上，混沌現象是短期可以預測，而長期不可預測的。混沌時間序列的預測方法包括：全域法、局域法、基于Lyapunov指數的預測法和基于神經網絡的預測法等。混沌時間序列的預測具有非常廣闊的應用前景，如電力系統短期負荷預測、股市行情預測、轉子剩余壽命的預測、天氣預報等。[10]
    （二）分形
    1.分形理論的發展歷程[11]
    分形(Fractal)理論是由美籍法國數學家芒德勃羅(B.B.Mandelrot)創建的。1967年他發表在美國《科學》雜志上的論文《英國的海岸線有多長》中，首次闡明了分形的思想。1973年在法蘭西學院講學時他又正式提出了分形幾何的概念。1975年他的法文專著《分形：形狀、機遇和維數》的出版，是分形學理論誕生的標志。在其著作中總結了一系列在19世紀后期與20世紀初曾困惑著大量數學家的病態曲線或幾何體，如1883年由德國數學家康托爾所構造的康托爾三分集、由法國數學家魏爾斯特拉斯在1872年7月18日向柏林科學院報告中提出的在分析數學中的一條處處連續又處處不可微的Weierstrass函數。
    2.分形集的特點[12]
    芒德勃羅在1982年曾給分形下過定義：若一個集合的Hausdorff維大于其拓撲維，則該集合屬分形。1986年，他認為上述定義不完善，又重新定義為：分形是一種由許多個與整體有某種相似性的局部所構成的形體。其后不久，他于1987年又聲稱，至今尚未找到一個簡潔、完整地刻劃分形的定義。盡管如此，分形的基本特征是明確的，即：(1)該集合整體與局部間有某種自相似性；(2)該集合有無窮細微的結構（無限可分）；(3)該集合具有分數維，即分形集合的維數一般不是整數，而是分數。
    3.分形的主要應用領域[13]
    分形理論誕生之后，發展甚為迅速，并在自然科學、社會科學、人文科學等各個領域中獲得了廣泛應用。如今，分形和分維的概念早已從最初所指的形態上的幾何自相似性這種狹義分形，擴展到了在結構、功能、信息、時間上等具有自相似性質的廣義分形。出現了諸如分形物理學、分形生物學、分形結構地質學、分形地震學、分形經濟學、分形人口學等，發現了材料學、化學、天文學中的分形以及思維分形、藝術分形、情報分形等等。
    首先，分形理論為自然界中復雜的形狀、結構、功能等的定量刻畫和描述提供了新的方法。因而自從其誕生，就迅速地在地質、地震、石油、材料斷裂等應用科學中獲得了廣泛的應用。其次，分形理論為混沌理論的研究提供了重要的數學工具。分形幾何一經產生，立即就成為研究混沌學的基本工具之一，至其常被稱為混沌幾何學。分形集就是動力系統中那些具有不穩定軌跡的初始點的集合，即混沌集，混沌吸引子就是分形集。再次，分形理論及其方法為研究自組織現象提供了一種重要的思路和方法。許多事實都表明分形與自組織現象確有內在聯系，可以說，分形代表一種自組織機制。像人體這種復雜巨系統，數量多得驚人的細胞能夠組成一種有機整體并協同地自組織地工作，這與人體內許多器官和組織等都具有分形結構是分不開的。最后，分形理論及其方法為人們對思維科學的研究，尤其是對大腦奧秘的探索提供了新的視角、思路和方法。
    （三）孤立子
    1.孤立子理論的發展歷程[14]
    孤立子的發現可追溯到1834年，英國科學家、造船工程師Scott Russell在運河上觀察到光滑突出水面且以恒定速度傳播的巨大孤立波峰，這一現象的物理本質當時引起了廣泛的爭執。1895年，兩位年輕的荷蘭科學家Korteweg和de Vries建立了單向運動淺水波的數學模型，即著名的KDV方程，并得到了與Russell的觀察一致的形狀不變的孤立波解。然而這樣的孤立波是否穩定，兩個這樣的孤立波碰撞后是否變形，這一直是科學家們感興趣而又無法證實的問題。
    直到1965年美國科學家Zabusky等人用數值模擬法詳細地考察了等離子體中孤立波相互間的非線性碰撞過程。計算表明，兩個孤立波碰撞后仍以它們碰撞前的同一速度和形狀離開，孤立波這種經碰撞不改變波形和速度的非常穩定的奇特性質，正像物理上的粒子一樣。于是孤立子這個詞被用來生動地表示孤立波的粒子行為。從此，孤立子作為應用科學中的新概念誕生了，并在廣泛的范圍內被引用。
    2.孤立子的特點[15]
    通常在應用數學中，將孤立子理解為非線性演化方程局部化的行波解，經過互相碰撞后，不改變波形和速度（或許相位發生變化）。在物理領域，孤立子被理解為經相互作用后，波形和速度只有微弱改變的孤立波，或者被理解為非線性演化方程能量有限的解，就是能量集中在空間有限區域，不隨時間的增加而擴散到無限區域中去。
    以非線性薛定愕方程的包絡形孤立子為例，它明顯地顯示出具有局域性、穩定性、波粒二象性三大特征。其局域性指孤立子的能量集中在空間有限區域。不會隨時間的增加而擴散到無限區域中去。它的穩定性和波粒二象性體現在孤立子具有明顯的波動性，即它是一個孤立的行波，但同時它還具有另一特點：當兩個孤立子相碰時，它們以經典粒子一樣的規律運動，碰撞后，各自保持自己原有的形狀和速度繼續運動（最多只有一個相移），表明其仍十分穩定，其粒子性在實際相互作用中明顯地表現出來。
    3.孤立子的主要應用領域[16]
    由于孤立子所具有的特性，孤立子理論在等離子體物理、凝聚態、生物學、非線性光學等方面有著廣泛的應用。
    Kingnep等人認為強烈的等離子體擾動可用具有相互作用的孤立子氣體來描述。Ikeji等人的實驗證實，在弱色散等離子體中有離子聲孤立子存在，它們滿足KDV方程。近年來，理論研究和實驗結果都表明神經沖動傳遞的確表現為一種孤立子。從分子水平上，運用傳遞生物能量和信息的孤立子模型，可以較完整地說明橫紋肌的收縮問題。由蛋白質被污染后的孤立子變化（傳遞生物能量與信息的孤立子被反射、散射、發射能量，衰減、陷落消失等）可以說明生命體發病的微觀機理。顯然，這些研究工作對于發展和揭示生物奧秘都有至關重要的意義。
    利用孤立子具有穩定性或保真性，1973年，貝爾實驗室的Hasegawa提出了有關光纖中光孤立子傳輸的概念。1984年Mollenauer等人研制成功光孤立子激光器，并運用于光纖通訊上。其后不久，實現了以每秒10千兆位的傳遞速度，進行100萬公里超高速光通訊技術，測得100萬公里后的波形毫無變化，從而使得光纖通訊事業得到迅速的發展。磁單極子是1931年由Dirac首先提出的物理概念，1974年荷蘭的G.thoof發現磁單極子也是非線性方程的一種解，是一種孤立子。隨著對孤立子深入的研究，磁單極子這一懸而未決的難題將有望獲得解決。
    　　四、非線性科學主要的研究方法
    歷史上，為解決各門科學中的線性問題，已經形成了一整套方法。例如，對于線性微分方程，可以通過求基本解、作傅里葉變換等方法來處理。對于線性的函數空間和算子，已研究得比較透徹，有了許多應用。對于非線性問題，也已積累了許多經驗，有不少有效的方法，但同時又面臨許多難以解決的問題。
    用數學來處理非線性問題，往往需要解各種形式的非線性方程，通常有以下幾類算法：(1)求準確解，即試圖運用各種技巧（如利用對稱性或一些巧妙的變換）來求得問題的準確解，例如，對二維的理想流體的定常運動，做出無旋的假定后，可以通過引進勢函數，再利用復變函數就可求出大量的準確解。但實際上只有極少數的非線性問題能夠求得準確解。(2)定性分析，即對解的存在性和惟一性問題進行討論。對某些復雜問題，如空氣動力學中的粘性流問題，有關的偏微分方程除特殊情況外很難求出準確解，但可對解作定性分析。如果一個非線性問題的解不存在或不惟一，則要對問題的模型作重新考察。數學中對解的存在性，通常有構造性和非構造性兩種證明方法。(3)數值解法。由于求非線性問題的準確解是很困難的，因此采用數值方法求解是不可避免的。事實上，大量的非線性問題已經能夠用數值計算來解決，特別是當要解決的問題需要數字結果時。但在數值計算中常會遇到算法的穩定性問題，例如當差分方程的步長取得不恰當，會產生振蕩解；另外，計算中也有許多技巧，如遇到病態方程等等。例如，對于Lorenz混沌吸引子，通常可以采用四階龍格庫塔算法進行迭代計算進行求解。(4)漸近展開法。采取多次線性逼近方法，通過解若干次線性問題得出非線性問題的近似解。在這類問題中，往往含有一個小參數，對方程作關于小參數展開，得到無限個線性問題，逐次求出若干個線性問題，即可求得很好的近似解。[17]
    此外，近年來，非參數建模理論得到了飛快的發展。與傳統建模理論相比，非參數建模不要求建立精確的數學模型，例如近年來發展迅速的人工神經網絡理論。人工神經網絡是由大量簡單的處理單元——神經元按照某種方式連接而成的自適應的非線性系統。它沒有運算器、存儲器、控制器，其信息是存儲在神經元之間的聯結上的。鑒于神經網絡的并行處理及強大的非線性映射能力，對于未知的動力系統，可以通過它來學習混沌時間序列，然后進行預測和控制。由于混沌時間序列在內部有著確定的規律性，表現為時間序列數據在時間延遲狀態空間中的相關性，這種特性使得系統似乎有著某種記憶能力，同時又難于用通常的解析方法把這種規律表達出來。而這種信息處理方式正好是神經網絡所具備的。
    Owens和Filk最先應用感知器模型來考察1990年以前5年的全球總降水量。這實際上是一個最簡單的神經網絡模型，它通過前5年的降水量對該網絡進行研究，然后用它來預測1990年的降水量。
    在其后的數十年里，神經網絡模型有了長足的發展，不僅有了誤差逆向傳播神經網絡模型（簡稱BP神經網絡模型）、徑向基神經網絡模型（簡稱RBF神經網絡模型）等數十種神經網絡模型，有些學者更是構造了混沌神經網絡模型，將非線性系統的體系結構考慮進神經網絡模型中，因而具有更高的預測精度。
    　　五、非線性科學研究的意義[18]
    近20年來非線性科學在探求非線性現象的普遍規律、發展處理它們的普適方法方面已取得了明顯的成就。在自然科學領域，孤立子揭示了非線性作用引起的驚人有序性；確定性系統中的混沌使人們看到了普遍存在于自然界中的一種運動形式；分形和分維的研究把人們從線、面、體的常規幾何觀念中解放出來，而面對更為多樣而真實的自然；自組織現象反映了耦合在一起的大量單元和子系統，由于有序和混沌的競爭而形成時空組織或時空過程。這些在不同學科領域內發現的非線性現象的共同特征，使一個學科內的進展能夠很快向其他領域轉換，同時也證實了非線性科學促進學科間互相滲透的跨學科特征。
    非線性科學不僅具有重大的科學意義，而且對人類社會、生態環境、醫學診斷、經濟發展、信息與決策等都產生了巨大影響，對社會的進步與發展有著積極的推動作用。非線性科學對哲學也帶來了巨大的沖擊，混沌研究很可能有助于消除對于統一的自然界確定論和概率論兩套對立描述體系之間的鴻溝，深化對于偶然性和必然性這些哲學范疇的認識。而分形結構和自組織現象及圖形生成的研究則為量變引起質變、有序和無序的相互轉換提供了豐富事例，同時簡單性與復雜性、局部與整體、有限與無限等重要的哲學、范疇及其相關內容也受到非線性科學發展的沖擊，需要重新認識和深化。非線性科學還將通過一系列重大發現和成果直接影響人們的思維方法，從而推動哲學的變革。
    有人認為，非線性科學將成為繼量子力學、相對論之后的又一次新的科學革命。非線性科學所引入的基本概念，對自然科學、人文社會科學乃至哲學產生的影響將會持久地影響人南京工業大學學報：社科版太原68～72B2科學技術哲學杜杰/劉啟華20042004非線性科學是研究非線性現象共性的一門新興的交叉學科。其主要研究內容包括混沌、分形和孤立子。本文主要介紹了非線性科學的起源、主要內容、主要研究方法及其工程應用，并對其未來發展進行了一些思考。非線性科學/研究方法/工程應用
    Nonlinear Science/research method/engineering application【基金項目】本文獲國家社會科學基金(02BZX23)和江蘇省哲學社會科學“十五”規劃基金(L2-004)資助。
    【收稿日期】2003-12-18霍桂桓






李紅霞　女，1978年生，碩士，中國社會科學院文獻信息中心研究實習員，1007The Complexity Study in Geographical System and Geography
  GAN Guo-hui,YANG Guo-an
  (Institute of Geographical Sciences and Natural Resources Research ,Chinese Academy of Science,Beijing 100101,China)Nonlinear Science is a new cross discipline, which concerns the common properties of nonlinear phenomena, It involves the Chaos, Fractal and Soliton. This paper focuses on the origin, main conteras, research methods and engineering application of the Nonlinear Science. It also explores the future development of Nonlinear Science.杜杰(1978-)，男，江蘇南京人。南京工業大學機械與動力工程學院2003級在讀博士生。主要從事智能建模方面的研究。南京工業大學機械與動力工程學院，江蘇　南京　210009
    劉啟華　南京工業大學機械與動力工程學院，江蘇　南京　210009 作者：南京工業大學學報：社科版太原68～72B2科學技術哲學杜杰/劉啟華20042004非線性科學是研究非線性現象共性的一門新興的交叉學科。其主要研究內容包括混沌、分形和孤立子。本文主要介紹了非線性科學的起源、主要內容、主要研究方法及其工程應用，并對其未來發展進行了一些思考。非線性科學/研究方法/工程應用
    Nonlinear Science/research method/engineering application【基金項目】本文獲國家社會科學基金(02BZX23)和江蘇省哲學社會科學“十五”規劃基金(L2-004)資助。
    【收稿日期】2003-12-18霍桂桓

網載 2013-09-10 21:39:57

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