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出版社: 上海科技教育出版社

副標題: 對高等數學的一次觀賞之旅

原作名: A Mathematical Bridge - An Intuitive Journey in Higher Mathematics

譯者: 鄒建成 / 楊志輝 / 劉嘉波

出版年: 2010-8

頁數: 385

定價: 59.00元

裝幀: 平裝

ISBN: 9787542849816

內容簡介 · · · · · ·

《數學橋:對高等數學的一次觀賞之旅》是一本獨一無二的數學書。它不是教科書，也不是普及書，而是一本介于這兩者之間的“普及性教科書”。它以高中數學為起點，用一種娓娓道來、徐徐展開的方式，向你展示大學數學中的核心內容和亮點，讓你欣賞許多令人驚嘆的結果，領略它們的自然之美和實用價值。《數學橋:對高等數學的一次觀賞之旅》好比一座數學橋，它幫你從以重復性解題操練為基礎的高中數學，平安順利地過渡到以系統性思想探究為主旨的高等數學。如果你即將或正在學習高等數學，那么《數學橋:對高等數學的一次觀賞之旅》將是你學習道路上的好伴侶；如果你已經學完了高等數學，那么不妨也來瀏覽一下，你很可能會說：“哎呀，原來是這么回事！”

目錄 · · · · · ·

序言

1.數

1.1 計數

1.1.1 自然數

1.1.1.1 自然數的構造

1.1.1.2 算術

1.1.2 整數

1.1.2.1 零和負整數的性質

1.1.3 有理數

1.1.4 序

1.1.4.1 使N，Z和Q有序

1.1.5 從一到無窮大

1.1.5.1 無窮集的比較

1.1.6 無窮算術

1.1.7 超越

1.2 實數

1.2.1 怎樣產生無理數

1.2.1.1 實數的代數描述

1.2.2 有多少個實數

1.2.3 代數數和超越數

1.2.3.1 超越數的例子

1.2.4 連續統假設和更大的無窮大

1.3 復數及其高維同伴

1.3.1 復數i的發現

1.3.2 復平面

1.3.2.1 復數在幾何中的應用

1.3.3 棣莫弗定理

1.3.4 多項式和代數基本定理

1.3.4.1 多項式方程的求解

1.3.5 還有其他的數嗎

1.3.5.1 四元數

1.3.5.2 凱萊數

1.4 素數

1.4.1 計算機、算法和數學

1.4.2 素數的性質

1.4.3 素數有多少個

1.4.3.1 素數的分布

1.4.4 歐幾里得算法

1.4.4.1 歐幾里得算法的速度

1.4.4.2 連分數

1.4.5 貝祖引理和算術基本定理

1.5 模整數

1.5.1 模為素數的算術

1.5.1.1 一個關于素數、的公式

1.5.1.2 費馬小定理

1.5.2 RSA密碼

1.5.2.1 建立RSA體制

1.5.2.2 一種RSA密碼體制

2.分析

2.1 無窮極限

2.1.1 三個例子

2.1.1.1 阿基里斯和烏龜

2.1.1.2 連續復合利率

2.1.1.3 方程的迭代解法

2.1.2 極限的數學描述

2.1.2.1 收斂的一般準則

2.1.3 極限應用于無窮和

2.1.3.1 一個例子：幾何級數

2.2 無窮和的收斂與發散

2.2.1 調和級數

2.2.2 收斂判別法

2.2.2.1 比較判別法

2.2.2.2 交錯級數判別法

2.2.2.3 絕對收斂

2.2.2.4 比率判別法

2.2.3 冪級數及其收斂半徑

2.2.3.1 確定收斂半徑

2.2.4 無窮級數的重新排列

2.3 實函數

2.3.1 實值函數的極限

2.3.2 連續函數

2.3.3 微分

2.3.3.1 例子

2.3.3.2 微分中值定理

2.3.3.3 洛必達法則

2.3.4 面積與積分

2.3.5 微積分基本定理

2.4 對數函數和指數函數以及e

2.4.1 Inx的定義

2.4.2 expx的定義

2.4.3 歐拉數e

2.4.3.1 e的無理性

2.5 冪級數

2.5.1 泰勒級數

2.5.1.1 作為警示的例子

2.5.1.2 實函數的復擴張

2.6 與分析學觀點下的三角學

2.6.1 角度與扇形面積

2.6.1 的一個級數展開式

2.6.2 正切、正弦和余弦

2.6.2.1 用冪級數定義sinx和cosx

2.6.3 傅里葉級數

2.7 復函數

2.7.1 指數函數和三角函數

2.7.2 復函數的幾個基本性質

3.代數

3.1 線性性

3.1.1 線性方程

3.1.1.1 線性方程組

3.1.2 向量空間

3.1.2.1 直線、平面和其他向量空間

3.1.2.2 向量空間的子空間和交

3.1.2.3 向量的物理學例子

3.1.2.4 有多少個向量空間

3.1.2.5 向量的進一步例子

3.1.3 將向量空間投入應用：線性映射和矩陣

3.1.3.1 再探聯立線性方程組

3.1.3.2 矩陣代數的性質

3.1.4 線性方程組

3.1.4.1 齊次方程

3.1.4.2 線性微分算子

3.1.4.3 非齊次線性方程

3.1.4.4 求方陣的逆陣

3.1.4.5 行列式

3.1.4.6 行列式的性質

3.1.4.7 方陣的求逆陣公式

3.2 最優化

3.2.1 線性約束

3.2.2 單純形法

3.2.2.1 一個例子

3.2.2.2 食譜問題

3.2.2.3 運輸問題

3.2.2.4 博弈

3.3 距離、長度和角度

3.3.1 純量積

3.3.1.1 標準幾何與歐式純量積

3.3.1.2 多項式和純量積

3.3.2 一般純量積

3.3.2.1 柯西-施瓦茨不等式

3.3.2.2 長度和距離的一般性質

3.3.2.3 不是由純量積導出的長度

3.4 幾何與代數

3.4.1 二維空間中的二次型

3.4.2 三維空間中的二次曲面

3.4.3 特征向量和特征值

3.4.3.1 求特征向量和特征值

3.4.3.2 實對稱矩陣的特殊性質

3.4.3.3 再探二次型

3.4.3.4 例子再探

3.4.4 等距變換

3.4.4.1 平移

3.4.4.2 行列式、體積和等距變換

3.5 對稱

3.5.1 對稱群

3.5.1.1 群公理

3.5.1.2 再說四元數

3.5.1.3 模為p的整數乘法

3.5.2 對稱中的對稱 —— 子群

3.5.2.1 有限群的特殊性質

3.5.3 群作用

3.5.4 二維和三維的墻紙

3.5.4.1 點陣上的墻紙

3.5.4.2 貼墻紙

3.5.4.3 對晶體學的應用

4.微積分與微分方程

4.1 微積分的起因和內容

4.1.1 加速度、速度和位置

4.1.1.1 積分

4.1.2 多虧牛頓

4.1.2.1 一種單擺

4.1.2.2 從單擺到復擺

4.1.2.3 基于牛頓定律的微積分的發展

4.2 線性常微分方程

4.2.1 線性常微分方程的全解

4.2.2 非齊次方程

4.2.3 解齊次線性方程

4.2.3.1 常系數方程

4.2.4 冪級數解法

4.2.4.1 貝塞爾函數

4.2.4.2 一般的級數求解法

4.3 偏微分方程

4.3.1 偏導數的定義

4.3.2 弦振動方程

4.3.2.1 波動解釋

4.3.2.2 分離變量法

4.3.2.3 初始條件和邊界條件

4.3.2.4 弦樂器

4.3.3 擴散方程

4.3.3.1 太陽能加熱

4.3.4 從實數看復導數

4.3.4.1 拉普拉斯方程

4.4 微積分與幾何相遇

4.4.1 切向量與法向量

4.4.2 梯度、散度和旋度

4.4.3 面積分與體積分

4.4.3.1 高斯積分

4.4.3.2 散度的幾何解釋

4.4.3.3 旋度的幾何解釋

4.4.3.4 重訪傅里葉

4.4.3.5 散度定理的應用

4.4.4 拉普拉斯方程和泊松方程

4.4.4.1 解拉普拉斯方程

4.4.4.2 泊松方程

4.4.4.3 邊界條件與解的唯一性

4.5 非線性性

4.5.1 關于流體運動的納維-斯托克斯方程

4.5.2 微分方程的擾動

4.5.2.1 彈道學

4.5.2.2 單擺并不簡單

4.6 定性方法：不求出解的解法

4.6.1 解微分方程意味著什么

4.6.2 相空間與軌道

4.6.3 畫出相空間軌道圖

4.6.3.1 一階非線性微分方程

4.6.3.2 二階非線性微分方程

4.6.3.3 披著虎皮的簡諧運動

4.6.3.4 非線性方程的例子

4.6.4 不動點附近的一般流型

4.6.5 例子：獵食方程

4.6.6 相互競爭的食草動物

5.概率

5.1 概率論的基本概念

5.1.0.1 生日相同問題

5.1.1 兩個作為警示的例子

5.1.1.1 比賽中止問題

5.1.1.2 門和山羊的問題

5.2 嚴格的概率論

5.2.1 容斥公式

5.2.1.1 外套問題

5.2.2 條件概率

5.2.2.1 貝葉斯統計學家

5.2.3 全概率定律和貝葉斯公式

5.2.3.1 藥物檢測的可靠性

5.3 樣本空間上的函數：隨機變量

5.3.1 二項分布

5.3.2 二項分布的泊松近似

5.3.2.1 噪聲數據中的誤差分布

5.3.3 泊松分布

5.3.3.1 泊松分布的解釋

5.3.4 連續型隨機變量

5.3.4.1 正態分布

5.3.4.2 均勻分布

5.3.4.3 伽馬隨機變量

5.3.5 概率在素數中的一個應用

5.3.6 平均化與期望

5.3.6.1 在二項分布和泊松分布的試驗中我們應該期望得到什么

5.3.6.2 在正態分布的試驗中我們應該期待得到什么

5.3.6.3 收集問題

5.3.6.4 柯西分布

5.3.7 離散程度與方差

5.3.7.1 期望與方差的一種動力學解釋

5.4 極限定理

5.4.1 切比雪夫不等式

5.4.1.1 切比雪夫不等式給出了最好界限

5.4.1.2 將對平均值的偏差標準化

5.4.1.3 標準化隨機變量

5.4.2 大數律

5.4.2.1 蒙特卡洛積分法

5.4.3 中心極限定理和正態分布

5.4.3.1 中心極限定理

6.理論物理

6.1 牛頓的世界

6.1.1 行星的繞日運動

6.1.1.1 變換運動方程

6.1.1.2 問題的解

6.1.1.3 牛頓的反引力

6.1.2 證明能量守恒

6.1.3 其他類型的力導致行星災難

6.1.4 地球、太陽和月亮？

6.2 光、電、磁

6.2.1 靜電

6.2.1.1 關于一個磁體的方程

6.2.2 電流與磁性

6.2.3 關于電磁波的麥克斯韋方差

6.2.3.1 真空中電磁波方程的解

6.3 相對論與宇宙的幾何

6.3.1 狹義相對論

6.3.1.1 長度收縮與時間延緩

6.3.1.2 作為一種時空旋轉的洛倫茨變換

6.3.1.3 作為時空對稱群的洛倫茨變換

6.3.1.4 相對行動量

6.3.2 廣義相對論和引力

6.3.2.1 施瓦氏黑洞

6.4 量子力學

6.4.1 量子化

6.4.1.1 波粒二象性

6.4.2 量子力學的數學系統

6.4.2.1 基本方程

6.4.3 量子力學的基本設置

6.4.3.1 陷進一維盒子的粒子

6.4.3.2 動量本征態

6.4.3.3 推廣到三維空間

6.4.4 海森伯的不確定性原理

6.4.4.1 不確定性在起作用

6.4.5 接下來是什么

附錄A 給讀者的練習

附錄B 閱讀進階

附錄C 基本數學知識

附錄D 字母與符號

譯者后記

2022-12-08 19:09:55