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在公元前400多年,古希臘數學家、哲學家芝諾(Zeno)曾經提出過一個令人困惑的悖論,我們先來看看這個悖論的具體內容。
一個令人困惑的悖論,你明明知道它是錯的,卻很難反駁© 由 眾播生活 提供
這個悖論的設定是:阿基里斯(Achilles)是一個英勇的戰士,也是一個奔跑速度很快的人,其速度遠遠地超過了烏龜。有一天,阿基里斯與一只烏龜進行了賽跑,由于他的奔跑速度很快,因此烏龜要求阿基里斯給它一些領先的優勢,也就是說,當烏龜跑出一段距離之后,阿基里斯才開始追。
芝諾指出,當阿基里斯開始追的時候,烏龜已經跑出了一段距離,我們可以將烏龜此時所在的落腳點稱為“起始點”,當阿基里斯跑到“起始點”的時候,烏龜又向前跑出了一段距離,抵達了第二個落腳點,而當阿基里斯跑到這個“第二個落腳點”的時候,烏龜又向前跑出了一段距離,抵達了第三個落腳點……
一個令人困惑的悖論,你明明知道它是錯的,卻很難反駁© 由 眾播生活 提供
所以芝諾給出的觀點就是,在這個過程中,阿基里斯每一次追到烏龜上一個落腳點的時候,烏龜當前所在的位置就總是會在這個落腳點的前面,在這樣的情況下,雖然阿基里斯與烏龜的距離在不斷縮短,但他卻永遠都追不上這只烏龜。
可以看到,芝諾從理論上推導出了一個與實際情況明顯相悖的結果,這確實有點令人困惑,因為你明明知道它是錯的,卻很難反駁。不過“很難反駁”并不代表“不能反駁”,比如說根據現在的量子理論,就可以對其進行反駁。
這個悖論有一個重要的前提,那就是時間和空間都可以無限分割,但在量子理論中,時間和空間并不是可以無限分割的,它們都有一個不可再分割的單位,即普朗克時間(約5.39 x 10^-44秒)和普朗克長度(約為1.6 x 10^-35米)。
一個令人困惑的悖論,你明明知道它是錯的,卻很難反駁© 由 眾播生活 提供
據此我們就可以這樣反駁:當阿基里斯與烏龜的距離縮小到了1個普朗克長度,或者阿基利斯跑完他與烏龜的距離所需要的時間縮短到了1個普朗克時間的時候,阿基利斯就可以在下一個普朗克時間追上烏龜。那么,除了量子理論,還有沒有其他的方法進行反駁呢?答案是肯定的。
芝諾實際上是把阿基里斯追上烏龜的過程分割成了無窮多個階段,每個階段都有一個確定的時間長度,為了方便討論,我們可以假設阿基里斯的速度是11米/秒,烏龜的速度是1米/秒,當烏龜跑出10米的時候,阿基里斯就開始追。
這其實就是一個非常簡單的追擊問題,通過計算可知,阿基里斯只需要1秒鐘就可以追上烏龜。
一個令人困惑的悖論,你明明知道它是錯的,卻很難反駁© 由 眾播生活 提供
然而芝諾的思路卻是這樣的:當阿基里斯跑到“起始點”的時候,他用了10/11秒的時間,而此時烏龜已經跑到了“第二個落腳點”,距離“起始點”有10/11米,所以當阿基里斯跑到“第二個落腳點”,他又會用去10/11^2秒的時間,而此時烏龜已經跑到了“第三個落腳點”,距離“第二個落腳點”有10/11^2米,所以當阿基里斯跑到“第三個落腳點”,他又會用去10/11^3秒的時間,接下來所用的時間段以此類推,如10/11^4秒、10/11^5秒……
可以看到,盡管這些時間長度會越來越短,但它們的數值始終都會是一個正數。
根據我們的直覺,無窮多的正數之和,就應該是一個無限大的數字,而這也是芝諾提出的這個悖論的一個重要前提,如果這個前提成立,那么阿基里斯追上烏龜就需要無限長的時間,如此一來,阿基里斯就永遠追不上烏龜。
一個令人困惑的悖論,你明明知道它是錯的,卻很難反駁© 由 眾播生活 提供
但無窮多的正數之和,真的就必定是一個無限大的數字嗎?答案當然是否定的,實際上,如果你不斷地將前面我們計算出的時間長度加起來,你就會發現,無論怎么加,你計算出的結果都是小于1的。
而這也就意味著,在阿基里斯追上烏龜之前,無論他經歷了多少個階段,他所用的時間之和都是小于1秒,據此我們就可以得出,芝諾提出的觀點,其實等價于這樣一種說法,即:在小于1秒鐘的時間里,阿基利斯永遠都追不上烏龜。
顯而易見的是,這是一句“正確的廢話”,因為根據我們前面的計算,阿基里斯本來就需要1秒鐘的時間才能追上烏龜,所以這樣的說法當然是正確的,并不是一個悖論。
2024-07-06 23:53:30
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